RMQ小结

1. 概述

RMQ(Range Minimum/MaximumQuery),即区间最值查询,是指这样一个问题:对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题。每次用一个循环来计算区间最值显然不够快,怎么办呢?实践中最常用的是Tarjan的Sparse-Table 算法
,预处理O(nlgn),但是查询时间只要O(1),而且常数很小。更重要是,这个算法比线段树好写多了(除了ZKW大牛的线段树 Orz我看过最简洁的写法).

2.原理

令d(i,j)表示 从i开始的,长度为$x^{j}$的一段元素中的最值,则可以用递推的方式计算
d(i,j)=d(i,j)=min{d(i,j),d(i+$2^{j-1}$,j-1)}

注意$2^{j}$<=n,因此d数组的元素个数不超过nlogn,每一项又可以在常数时间计算出来,固总时间是O(nlogn)。

预处理模板:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
void RMQ_init(const vector<int>& A){
int n=A.size();
for(int i=0;i<n;i++) dmin[i][0]=A[i],dmax[i][0]=A[i];
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++){
dmin[i][j]=min(dmin[i][j-1],dmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);
dmax[i][j]=max(dmax[i][j-1],dmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}

查询

查询操作很简单,另k为满足$2^{k}$<=R-K+1的最大整数,则L开头,以R结尾的两个长度为$2^{k}$的区间合起来覆盖了区间[L,R].由于取得是极值,有些元素重复考虑也没有关系。(注意如果是累加,重复元素是不允许的)。

1
2
3
4
5
int rmq(int l,int r,int ok){//ok=0返回最小值,ok=1返回最大值
int k=0;
while((1<<(k+1))<=r-l+1) k++;
return ok==0 ? min(dmin[l][k],dmin[r-(1<<k)+1][k]) : max(dmax[l][k],dmax[r-(1<<k)+1][k]);
}

题目:
poj 3264
裸的求区间极值问题,直接套模板。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1<<16);
int n,q,dmin[N][20],dmax[N][20],a[N];
void RMQ_init(){
for(int i=0;i<n;i++) dmin[i][0]=a[i],dmax[i][0]=a[i];
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++){
dmin[i][j]=min(dmin[i][j-1],dmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);
dmax[i][j]=max(dmax[i][j-1],dmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
int rmq(int l,int r,int ok){
int k=0;
while((1<<(k+1))<=r-l+1) k++;
return ok==0 ? min(dmin[l][k],dmin[r-(1<<k)+1][k]) : max(dmax[l][k],dmax[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main(){
while(~scanf("%d %d",&n,&q)){
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
//for(int i=0;i<n;i++) cout<<a[i]<<endl;
RMQ_init();
for(int i=0;i<q;i++){
int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",rmq(l-1,r-1,1)-rmq(l-1,r-1,0));
}
}
}

poj3368&&uva11235
题意:给你一组非降序元素,查询某个区间内连续出现次数最多的一个数出现的次数.
思路:用value[i]和cnt[i]分别表示第i段的数值和出现的次数,l[i],r[i]表示第i段的数值最左边和最右边端点的位置,num[p]表示位置p所在段的编号。
每次查询[L,r]区间的结果为以下3个部分的最大值:从L到L所在段的结束处的元素的个数(r[L]-L+1),从R到R所在段结束处元素的个数(R-l[R]+1),中间num[L]+1段到num[R]-1段的cnt的最大值,而这部分求解就用到RMQ。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1<<17;
int value[N],cnt[N],num[N],l[N],r[N],d[N][20],t,a[N];
void RMQ_init(){
memset(d,0,sizeof(d));
for(int i=0;i<t;i++) d[i][0]=cnt[i];
for(int j=1;(1<<j)<=t;j++){
for(int i=0;i+(1<<j)-1<t;i++){
d[i][j]=max(d[i][j-1],d[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
int rmq(int l,int r){
int k=0;
while((1<<(k+1))<=r-l+1) k++;
return max(d[l][k],d[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main(){
int n,q;
while(scanf("%d",&n)&&n){
scanf("%d",&q);
int lx;scanf("%d",&lx);value[0]=lx;cnt[0]=1;num[0]=t;l[0]=0;r[0]=0;
for(int i=1;i<n;i++){
int x;scanf("%d",&x);
if(lx!=x){
t++;
value[t]=x;cnt[t]=0;
num[i]=t;l[t]=i;r[t]=i;
}
else{
num[i]=t;r[t]=i;
cnt[t]=max(cnt[t],i-l[num[i]]+1);
}
lx=x;
}
t++;
RMQ_init();
for(int i=0;i<q;i++){
int L,R;scanf("%d%d",&L,&R);L--;R--;
if(num[L]==num[R]) printf("%d\n",R-L+1);
else{
int ans=max(r[num[L]]-L+1,R-l[num[R]]+1);
if(num[L]+1<=num[R]-1) ans=max(ans,rmq(num[L]+1,num[R]-1));
printf("%d\n",ans);
}
}
}
}

扫码也许会变得更强~!